30 de abril de 2006

Ley de los grandes números.

Recientemente en el foro de Viva el Blackjack fue hecha una pregunta que me ha puesto a reflexionar si realmente he explicado correctamente el concepto del margen da las casa, y la posibilidades de ganarle a la casa contando cartas. Creo que por algún motivo da la impresión de que basta con contar cartas a la perfección para salir a ganar al casino. Nada más lejos de la realidad.

Cuando contamos cartas lo que estamos haciendo es que jugamos con las probabilidades a nuestro favor y eso nada tiene que ver con ganar todo el tiempo. Lo único que sabemos es que cuando jugamos con las probabilidades a nuestro favor, si jugamos muchas veces, siempre utilizando los conocimientos y las técnicas, a la larga es que vamos a ganar, nada nos garantiza que si en este momento vamos a casino vamos a ganar.

En probabilidades existe la llamada ley de los grandes números, y todo el proceso de conteo de cartas, margen de la casa, rentabilidad del casino, o ganancia esperada de un jugador avanzado se basa en ese concepto.

Todos sabemos que si se lanza una moneda, hay una probabilidad de 50% de salga cara y una probabilidad de 50% de que salga sello. Eso no significa que si usted lanza la moneda 10 veces van a salir 5 caras y 5 sellos y esto es perfectamente comprobable. Pero si la lanza 1000 veces tal vez la cantidad real de oportunidades que salga cara o sello esté mas cercana a ese 50/50% puede intentarlo, pero dudo que logre exactamente 500 caras y 500 sellos. Si hace la prueba un millón de veces, tampoco va a obtener exactamente 500.000 caras y 500.000 sellos, pero el número se va a acercar mucho a esta proporción. Mientras mayor sea la cantidad de pruebas o eventos, mas nos acercaremos a esa proporción de 50/50%.

Supongamos que cara sea ganar y sello sea perder y usted va a apostar siempre la misma cantidad a cara, digamos $10, si juega 100 veces, nada le garantiza a usted que van a salir 50 caras y 50 sellos y usted termina con la misma cantidad con que comenzó a jugar aunque para este caso, el margen de la casa es CERO (0%), a lo mejor salen 40 caras y 60 sellos y usted pierde 20x10= $200. Pero también puede suceder lo contrario. Si usted va todos los días a jugar “monedita” y apuesta todos los días 100 veces, algunas veces va a regresar a su casa ganando, otras perdiendo pero a la larga usted ni va a ganar ni va a perder y en promedio usted se quedará con sus $10. Puede suceder que un día usted pierda las 100 veces (¡$1.000!), y también puede suceder lo contrario.

Lo mismo sucede con el Blackjack, es como si la moneda estuviera ligeramente deformada en forma cóncava para que sea mas probable que caiga en sello. Usted va a lanzar esa moneda muchas veces y saldrá cara una gran cantidad de oportunidades, pero saldrá sello un poco mas frecuente. Ese es el margen de la casa, esa pequeñísima diferencia, pero usted ganará y perderá, pero en el largo plazo usted perderá. Contar cartas es deformar la moneda hacia el otro lado.

Puedo contar miles de historias frustrantes de sesiones de blackjack desesperantes donde nada sale bien, no importa si la cuenta esta totalmente a favor de uno, de todas maneras uno pierde mano tras mano y con apuestas muy altas. A pesar de toda mi formación y lo que he estudiado, esas cosas siempre afectan y cambian el humor. Pero de todos modos, también puedo contarles más o menos la misma cantidad de historias donde todo sale bien y más, donde uno gana no importa como uno juega. Pero algo es real, a la larga los contadores de cartas ganamos pero siempre hay frustraciones que son inevitables ya que somos seres humanos pensantes y con sentimientos.

Veamos un ejemplo utilizando un sistema de conteo poderoso como el KO para que se vea claramente de que estoy hablando:

Supongamos un jugador perfecto de estrategia básica en un juego de 6 mazos con 75% de profundidad con reglas americanas estándar sin rendición. Si juega plano, siempre la misma apuesta, el margen de la casa es de 0,394% (resultado de simulación de 2.000.000.000 de rondas), eso quiere decir que si juega por ejemplo $10 plano, la expectativa es que pierda $0,0394 por cada $10 que apueste. Si juega con dealer rápido sólo en una mesa, es probable que pueda jugar unas 100 manos por hora, eso significa que su expectativa es perder 100 x 0,0394 = $3,94/hora pero en la práctica la historia es diferente, como hemos visto con el ejemplo de la moneda, hay una variación probable de los resultados que puede ser medida o determinada matemáticamente y se le llama desviación estándar.

La desviación estándar es una medida del grado de dispersión de los datos del valor promedio, en nuestro ejemplo, el valor promedio del margen de la casa de 0,394%. En procesos aleatorios con distribución normal, (el blackjack, la moneda o la ruleta, se comportan de esa manera) se entiende que aproximadamente el 68,3% de las oportunidades los resultados están dentro de un rango de una desviación estándar, el 95,46% de la oportunidades los resultados estarán en un rango de dos desviaciones estándar y el 99.73% en el rango de tres desviaciones estándar.



Para nuestro ejemplo, se determinó con la simulación que la desviación estándar es de 11,5. Lo anterior quiere decir que si el margen del jugador promedio es -0,394%, y tres desviaciones estándar son 34,50, el margen puede variar entre -34.892% y 34,11%. Esta variación es enorme y significa que jugando plano, siempre lo mismo y estrategia básica, un día usted puede ganar el 34,11 por e cada unidad que apueste, por ejemplo si apuesta $10 cien veces por hora, a lo mejor tiene suerte y en esa hora usted se gane $341,10 pero también le puede pasar que otro día pierda $348.92. Claro está que la probabilidad de que estos extremos sucedan es menor al 1%.

Veamos que pasa cuando ese mismo jugador cuenta cartas, con el sistema KO preferred, y un rango de apuesta óptimo de 1 a 16 unidades, en nuestro caso $10 de apuesta mínima y $160 de apuesta máxima. Los resultados de la simulación de 2.000.000.000 de rondas indican que el margen del jugador es ahora 2,656% y la desviación estándar es 55,71. Para poder hacer los cálculos precisos es necesario determinar el monto promedio de la apuesta, cuando se juega contando cartas, la apuesta varía según la cuenta, mientras mayor es la cuenta mayor es el monto a apostar. Si dividimos el monto total apostado entre el número de veces que se apostó tendremos la apuesta promedio, nuestra simulación indicó que la apuesta promedio fue de $27,01 para la dos mil millones de rondas.

En las mismas condiciones del jugador sólo y con un dealer rápido tenemos que con ese rango de apuestas la expectativa es ganar $26,56 cada100 manos . Pero lamentablemente la desviación estándar (¿Suerte?) es enorme. Utilizando el criterio de (557.1 x 3 = 1671) tres desviaciones quiere decir que hay la probabilidad de que un día nuestro jugador gane $1698.86 en 100 manos pero también puede pasar que pierda $1643.74 en esas 100 manos. De lo único que estamos seguros cuando contamos cartas es que a la larga tomado en cuenta esas pérdidas frustrantes o las ganancias de esos días de locura donde todo sale bien, ganaremos en el largo plazo, apenas unos $26.56 cada 100 manos si nuestro rango es de $10 a $160.

Lo anterior solo indica que para poder jugar se necesita un capital y tener como afrontar esas rachas de mala suerte o desviación estándar negativa. El monto de capital necesario depende del rango de apuesta y el riesgos que se esta dispuesto a correr. La determinación de ese capital de juego será tema de un artículo posterior.

¡Viva el Blackjack!

5 comentarios:

protheus dijo...

Carlos:
"Quien juega sabiendo que va a perder, es un tonto; pero quien juega sabiendo que va a ganar, es un pícaro."
No recuerdo el autor.
El juego de Blackjack es el que le ofrece mayores posibilidades al jugador.
Este post deja poco qué comentar, porque está completo. Pero creo que la diversión debe estar siempre presente en todo lo que se haga.
Para tí, jugar es placentero; solo que uniste ese placer al placer por las matemáticas, y tus dos placeres suelen reportarte beneficios económicos, encima.
En mi experiencia, nada fácil vale la pena.

Saludos.

Cabina Aérea dijo...

Post denso y confuso para una neófita de los números..amén de mi ya explicado temor-horror-estupor ante el juego.
Saludos Carlos

Carlos dijo...

cabina aérea,

la idea del post es exáctamente esa, que la gente no piense que basta aprender un par de cosas y salir a ganar. Que le tome miedo y respeto al juego

Aqui lo que quiero decir es que si vas a jugar debes tener el dinero para hacerlo y no comprometer la renta de tu casa o la leche de tus hijos. Tambien digo que hay que estudiar practicar aprender a soportar los malos ratos y para eso hay que tener con que.

Yo no se porque la gente piensa que simplemente con leer un par de artículos, practicar 1/2 hora en casa ya está listo para ir a destrozar la banca.

Yo compro libros, los leo y los estudio, investigo, hago simulaciones, practico en mi computadora por lo menos una hora diaria, y con todo y eso, muchas veces voy al casino y pierdo, y muchas otras veces gano. Lo que yo se es que si sumo las ganancias y le resto las pérdidas, he ganado a lo largo de estos añoa una suma respetable de dinero, pero siempre en base a lo que digo y predico.

Carlos

protheus dijo...

A mí sí que me parece arduo jugar con las posibilidades ligeramente a favor, que es lo que tú haces.

Ezequiel dijo...

Muy buen post, me parecio bastante interesante lo q dijiste. Igual no hay mucha aclaracion sobre la ley de los grandes numeros.
Las simulaciones de manos de black jack las haces en una aplicacion probramada por vos?? Yo realmente odiaba los juegos de azar porq no esta en juego las habilidades del jugador, pero esto no ocurre con el black jack. Por eso es q me interesa bastante ahora.
lo comparas con una distr. normal porq tenes muchos intentos no?? no deberias usar una distribucion beta??
buen post