8 de mayo de 2011

La expectativa y la distribución de probabilidades Parte I

Introducción:

En los últimos días se han sucedido una serie de discusiones en el Foro que en mi opinión están confundiendo al lector no versado en lugar de aclarar los puntos.

Este artículo pretende sentar la semántica y la base para las siguientes discusiones en el foro.

En esta primera parte hare un brevísimo repaso de lo básico de probabilidades y explicaré el concepto de valor esperado o expectativa matemática, también explicaré lo que es una distribución binomial. A al final haré una brevísima introducción al concepto de distribución normal y explicaré por qué las simulaciones son una buena herramienta de análisis para juegos de azar como el blackjack.

En la segunda parte explicare en detalle la distribución normal y sus parámetros importantes como la variancia y la media. Veremos que los resultados de múltiples juegos de blackjack no corresponden a una distribución binomial ya que las probabilidades cambian en la medida que las cartas son extraídas de mazo, pero al mismo tiempo veremos que una buena parte de los análisis y predicciones del juego pueden aproximarse bastante bien con distribuciones normales.

Para seguir leyendo, recomiendo al lector que primero investigue y conozca los conceptos básicos de probabilidades, las probabilidades finitas, en todo caso, aquí voy a colocar un resumen de las reglas básicas de probabilidades:

Resumen de conceptos:

Las reglas de las Probabilidades:

Regla

Ejemplo

Para cualquier evento E
0 ≤ p(E) ≤ 1
0 ≤ #éxitos ≤ #intentos o sea:
0 ≤ #éxitos/#intentos
p(evento imposible) = 0
p(evento seguro) = 1
p(sacar 13 con dos dados) = 0
p(ver un as sacando 50 cartas de un mazo) = 1
p(no E) = 1 – p(E) p(no sacar  6 en dos dados) = 1 – p(al menos un 6 en dos dados)
Si los elementos A y B son mutuamente exclusivos p(A o B) = p( A ) + p( B ) A= Sacar un as Rojo; B = Sacar una carta negra
p( A o B ) = 2/52 + 26/52 = 7/13
Si A y B son eventos independientes en experimentos sucesivos,
p(A luego B) = p(A) * p(b)
A = sacar un as o un rey
B = sacar doble con dos dados
p(A luego B) = 8/52 * 1/6 = 1/39

p: probabilidad, E: evento , #: cantidad

Expectativa matemática (para juegos de azar):

Sea

E1, E2, E3,………En

Un grupo de pares de eventos mutuamente excluidos.

P1, P2, P3,,……..,Pn

La probabilidad respectiva de cada uno de los eventos y

r1, r2, r3,……rn

El respectivo pago o ganancia (negativa o positiva) si sucede el evento

La ganancia esperada o la expectativa matemática de ese conjunto de eventos está dada por

X = p1r1 + p2r2 +p3r3 + ……..+pnrn

Algunas condiciones y explicaciones importantes:

  • La ganancia esperada representa la suma ponderada de todas las posibles ganancias y pérdidas en base a la probabilidad de cada una.
  • Para que el cálculo sea correcto se debe considerar TODOS los posibles eventos de un juego y ponderar la ganancia de ese evento por su probabilidad.

El siguiente ejemplo, un juego tan antiguo como la biblia hará una ilustración simple del tema de la expectativa y se trata del trompo de apuesta o “dreidel”

trompo 3

En este trompo de 4 caras hay cuatro posibles eventos:

E1 = el jugador pierde uno (moneda, $, etc.)

E2 = el jugador pierde dos

E3 = el jugador gana dos

E4 = el jugador gana uno

La probabilidad de que salga cualquiera de las caras, suponiendo que está correctamente fabricado sin tendencia) es 1/4

la expectativa matemática o ganancia esperada de este juego es:

X= (-1)*1/4 + (–2)*1/4 + (1)*1/4 + (2)*1/4 = 0

Lo que esto nos dice es que en el largo plazo si se juega muchas veces la ganancia esperada de este juego es 0, es decir que estamos frente a un juego “justo”

Si por ejemplo cambiamos el evento E4 por “El jugador no gana” la expectativa matemática o ganancia esperada de este nuevo juego es:

X= (-1)*1/4 + (–2)*1/4 + (1)*1/4 + (0)*1/4 = –1/2 = –0.5

Esto quiere decir que a la larga por cada unidad ($ por ejemplo) que apueste en este juego la expectativa es perder -0.5, este juego es favorable a la casa!

Ahora cambiemos de las reglas iniciales el evento E1 por “El jugador no gana” la expectativa matemática o ganancia esperada de este nuevo juego es

X= (0)*1/4 + (–2)*1/4 + (1)*1/4 + (2)*1/4 = 0.25

En este caso la expectativa de ganancia es positiva, a favor del jugador.

Este mismos esquema se aplica con mayor o menor complejidad a todos los juegos de los casinos.

En juegos como el blackjack donde las posibles combinaciones de manos del jugador contra manos del dealer, dependiendo del numero de cartas que conforman las manos y las cartas ya jugadas hacen que la cantidad de eventos sea enorme el cálculo de la ganancia esperada por métodos de calculo combinatorio es un trabajo enorme que requiere gran capacidad de proceso y velocidad de cálculo. Peter A. Griffin hizo todos loas cálculos utilizando métodos combinatorios y potentes algoritmos para desarrollar su Teoría del Blackjack.

Mas adelante veremos que mediante simulaciones de millones de jugadas se puede llegar a resultados comparables al análisis combinatorio siempre que el número de muestras (rondas de la simulación) sea lo suficientemente grande.

La distribución Binomial:

Los juegos de azar y la repetición de los experimentos:

La expectativa o ganancia esperada nos da una forma de predecir que debería pasar, en promedio, si uno juega cierto juego por un tiempo suficientemente largo. Ahora bien, es evidente que hay gente que en oportunidades habiendo hecho apuestas por tiempo largo en juegos de expectativa negativa han ganado sumas importantes de dinero y por el contrario otras personas haciendo apuestas en condiciones de expectativa positiva pierden. (suerte?)  la idea es entender por qué lo anterior pasa y con que frecuencia puede pasar.

No vamos a hacer las demostraciones de las diferentes aseveraciones por motivo de espacio y tiempo, las puedes encontrar en cualquier texto de probabilidades

Si un experimento con una probabilidad p fija de éxito es repetido por n experimentos independientes entonces,

p(exactamente r éxitos en n intentos) = Cn,rqn-rpr    (q = 1 – p)

Cn,r son las posibles combinaciones de que r éxitos en n intentos.

q la probabilidad de que se suceda la combinación y p que no se suceda

Veamos un ejemplo para aclarar los términos:

Una moneda (buena) se lanza 8 veces. Cual es la probabilidad de lograr exactamente r caras?

En este caso:

p = q = 1/2

q8-rpr = (1/2)8 = 1/256

la solución se presenta en la siguiente tabla:

# de Caras (r) # de Posibilidades Probabilidad
0 C8,0 = 1 1/256
1 C8,1 = 8 8/256
2 C8,2 = 28 28/256
3 C8,3 = 56 56/256
4 C8,4 = 70 70/256
5 C8,5 = 56 56/256
6 C8,6 = 28 28/256
7 C8,7 = 8 8/256
8 C8,8 = 1 1/256

 

En la siguiente figura se muestra un gráfico de la frecuencia y sus probabilidades llamado histograma o gráfico de distribución.

distri caras

La simetría de los resultados es debido a que la probabilidad es 1/2, observe también que el evento mas probable es p(4 caras) = 70/256 = 0.273

Otra característica importante es que la suma de las probabilidades es 1

Tal vez lo mas importante de la distribución es que podemos calcular probabilidades de combinación de condiciones, por ejemplo:

p(l7 o mas caras) = C8,71/256 + C8,81/256 = 9/256 = 0.0352

y

p(6 o menos caras) = 1 - p(7 o mas caras) = 247/256 = 0.9648

La distribución binomial nos da, al menos en teoría, un medio de calcular las posibilidades de ganar un monto específico (es decir, lograr r éxitos) in un número específico de n juegos con una probabilidad p constante de ganar haciendo apuestas iguales. Por otro lado al trabajar en en situaciones realísticas que  en generar representan valores grandes de r y n requiere de cálculos  de Cn,r con potenciaciones elevadas de p y q que requieren de muy alta capacidad y velocidad de proceso. Para hacer las cosas mas complejas aún, el interés no es simplemente obtener la probabilidad de ganar (o perder) un monto específico, sino que “al menos” ese monto lo cual hace mas complejos los cálculos pues es necesario repetirlos para efectuar la suma de productos.

Las gráficas siguientes muestran la distribución de probabilidades o histogramas calculadas en forma combinatoria de la probabilidad de sacar r rojos en 4, 8 16, 32 y 64 jugadas de ruleta americana. La probabilidad de sacar rojo en la ruleta americana es 18/38 = 0.473684

image

image

image 

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Inicialmente se observa un pico al rededor de # rojos r = n/2 y ya es aparente una asimetría en favor de las pérdidas. Si la gráfica fuese perfectamente  simétrica alrededor de r = n/2 estaríamos hablando de un juego de guanacia 0. En la medida en que el número de jugadas se incrementa el pico se desplaza a la izquierda pero sorprende la forma simétrica de una curva que asemeja a una campana al rededor del valor pico.

El conjunto de valores discretos obtenidos puede aproximarse a una función continúa con forma de campana, una función exponencial con la forma:

imageEscogiendo las constantes a, c y b para asegurar que:

  • El área total debajo de la curva se 1
  • El pico de la curva esté en en el punto b que corresponde a np éxitos en n intentos en el eje horizontal
  • que el ancho de la curva se aproxime a la perfil binomial particular que estamos estudiando.

Esta función se le llama función normal o gaussiana y en general para los casos en que np > 5 y nq > 5 siempre se podrá conseguir una  función normal que aproxime en forma razonable a una distribución binomial.

En la figura siguiente se muestra la curva de normal supe impuesta a la distribución binomial que hemos estado analizando:

image

Es importante entender que la curva normal es simplemente una aproximación para poder estudiar y analizar procesos aleatorios, si ciertas condiciones son cumplidas

Mas adelante veremos que mediante simulaciones computarizadas podemos obtener el resultado de millones de jugadas. Si el proceso que se simula tiene una distribución que se aproxima a la normal, entonces se puede obtener de las simulaciones los parámetros necesarios para poder estimar el resultado del juego y el valor esperado para diferentes condiciones.

En la próxima parte se explicará con detalle el concepto de variancia y veremos el comportamiento del juego de blackjack a partir de simulaciones

Existen muchas otras funciones que permiten aproximar o modelar distintos tipos de procesos aleatorios.

Continuaré en el próximo post.

Viva el Blackjack!

2 de mayo de 2011

La triste realidad del blackjack de hoy. Parte I

Simulaciones versus corto plazo

Hace mucho tiempo que no escribo en el blog y las razones son bastante diversas pero en general es porque casi no estoy jugando:

  • En Europa central la mayoría de los casinos y casas de juego utiliza CSM con reglas asquerosas.
  • En Europa oriental y en los países ex soviéticos o bien los casinos han sido comprados por las grandes cadenas europeas o están en manos de las mafias rusas con condiciones un tanto peligrosas para los jugadores avanzados.
  • En Praga que es mi base de operaciones para mis actividades profesionales como ingeniero consultor, las condiciones de juego se han deteriorado enormemente desde la adhesión total de la República Checa a la Unión Europea. Los pocos sitios que quedaban con condiciones razonables de juego fueron sujetos de feroces ataques de equipos tanto de USA como Rusos y las condiciones obviamente cambiaron. Muchos de los casinos buenos han cerrado o han sido vendidos a las grandes empresas europeas o rusas.
  • En Venezuela donde la regulación legal era un tanto opaca y la legalidad de los casinos en Caracas y otras ciudades importantes siempre es un problema de interpretación del funcionario de turno, la mayoría de los casinos y casas de juego han sido cerradas.

En resumen tanto por mi actividad profesional como por las condiciones generales prácticamente no juego. De hecho, alguna que otra noche me voy a jugar en Praga contra las CSM donde al menos hay reglas buenas S17 y ES10. Jugando alguna progresión suave paso un rato agradable, me desconecto y hasta alguna vez salgo con una jugosa ganancia.

Esta misma situación la viví hace tres años en Bruselas, en esa oportunidad investigando el funcionamiento de las CSM y trabajando con un equipo para buscarle una debilidad jugué muchas horas contra ellas, flat o con progresiones simples poco agresivas y resultó que gané mucho mas dinero que el que hubiese ganado con un capital, un sistema de conteo e inclusive técnicas avanzadas como ST en juegos normales con zapato. Al igual que arriba, había reglas muy buenas comparadas con el resto de Europa.

Después de leer algunas entradas de excelentes participantes y moderadores del foro me he sentido motivado a escribir este artículo.

Las preguntas que quiero responder son las siguientes:

  • Tiene sentido contar cartas, armarse y arriesgar un capital para el jugador eventual?
  • Es posible para un jugador solitario (avanzado) armarse de un capital e ir a reventar la banca?

Tal vez desilusione a muchos con mi respuesta y hasta puede que me gane algunas enemistades. Después de todos estos años estoy definitivamente convencido de lo siguiente:

  1. La única forma de ganarle a los casinos es mediante la formación de equipos.
  2. Contar es importante pero no vital para el jugador solitario. Buenas reglas y condiciones de juego son mas importantes que contar para el jugador eventual.
  3. Quedan muy pocos sitios en el mundo que tengan reglas y condiciones suficientemente  buenas para que un AP (advannced player) pueda ganar mucho dinero en solitario. En general son en sitios remotos donde los niveles de apuestas son bajos y si no se presentan problemas de inseguridad se complica la posibilidad de cambiar el dinero, sacarlo del país, etc.

El tema es largo y tomará varios artículos para exponerlo todo.

Simulaciones:

Lo primero que quiero tratar es el tema de las simulaciones y la realidad del juego. Una simulación de billones de manos dará como resultado una rampa de apuesta óptima un punto apropiado para entrar y salir del juego. También obtendremos una expectativa de ganancia EV, el margen de la casa para la estrategia de juego. La simulación nos dará otros datos muy importantes como el ROR o riesgo de ruina, el ROI o retorno de inversión que para un ROR específico es el SCORE o ganancia estimada por cada 100 manos. Otro dato importante es la apuesta promedio y el mas importante es la Desviación Estándar.

Si corremos la simulación varias veces obtendremos resultados ligeritamente distintos con el mismo set de reglas, jugadores y número de manos. Mientras mayor sea el número de rondas en la simulaciones, mas se aproximarán unas a otras hasta llegar a similitudes al cuarto o al quinto decimal.

El corto plazo versus la simulación:

Supongamos un jugador que va al casino 5 veces a la semana y juega unas 4 horas cada vez. (conozco muy pocos que son tan constantes) Esto representa 20  horas semanales a razón de 60 manos por hora serían 1200 manos semanales. Si juega durante 50 semanas al año estamos hablando de 60.000 manos al año. Supongamos que es un jugador que dedicará 30 años de su vida al  blackjack, es decir, apenas 1.800.000 manos de por vida.

Cualquier simulador moderno hace mil millones de rondas para obtener resultados razonables. Se necesitarían unas 500 vidas de un fanático como el arriba descrito para jugar la misma cantidad de manos que la simulación.

Si corremos 500 simulaciones de 1.800.000 manos con la misma rampa de apuestas que resultó de la simulación de 1.000.000.000 manos los resultados son alarmantes:

  • El ROR individual resultante en cada simulación es dramáticamente diferente que el resultado de la simulación original.
  • El número de simulaciones que terminan con expectativa de ganancia negativa supera al estimado en la simulación original
  • Las diferencias en los resultados son enormes e impredecibles y no hay forma de hacer una fácil o directa correlación con el resultado original.

En resumen que si nuestro jugador pudiese vivir 500 vidas, encada una tendría un resultado totalmente diferente y terminaría arruinado muchas mas veces que el porcentaje de ruina indicado en el ROR de la simulación inicial.

Ahora si en lugar de un jugador con 500 vidas tuviésemos un equipo un equipo con 500 jugadores que comparten un capital y una estrategia, que mejoran las expectativas solo jugando en condiciones favorables (cuenta positiva) entonces los resultados si se parecerán a los de la simulación inicial. De aquí mi primera conclusión:

“La única forma de ganarle a los casinos es mediante la formación de equipos”

Si las simulaciones son de menos manos, es decir de jugadores eventuales, las variaciones serán aun más dramáticas, lo que significa que simplemente en el corto plazo no nos separamos del azar. Jugaremos con una ventaja teórica pero puede pasar y pasa  que a lo mejor pasen muchas noches perdiendo montos impresionantes mientras a su lado un jugador eventual, que ni idea tiene de estrategia básica gana, gana y gana…

Seguiré con el tema en la próxima entrada donde trataré de explicar por qué considero que contar es importante pero no imprescindible para el jugador eventual en el blackjack de hoy.

Hasta la próxima!