8 de mayo de 2011

La expectativa y la distribución de probabilidades Parte I

Introducción:

En los últimos días se han sucedido una serie de discusiones en el Foro que en mi opinión están confundiendo al lector no versado en lugar de aclarar los puntos.

Este artículo pretende sentar la semántica y la base para las siguientes discusiones en el foro.

En esta primera parte hare un brevísimo repaso de lo básico de probabilidades y explicaré el concepto de valor esperado o expectativa matemática, también explicaré lo que es una distribución binomial. A al final haré una brevísima introducción al concepto de distribución normal y explicaré por qué las simulaciones son una buena herramienta de análisis para juegos de azar como el blackjack.

En la segunda parte explicare en detalle la distribución normal y sus parámetros importantes como la variancia y la media. Veremos que los resultados de múltiples juegos de blackjack no corresponden a una distribución binomial ya que las probabilidades cambian en la medida que las cartas son extraídas de mazo, pero al mismo tiempo veremos que una buena parte de los análisis y predicciones del juego pueden aproximarse bastante bien con distribuciones normales.

Para seguir leyendo, recomiendo al lector que primero investigue y conozca los conceptos básicos de probabilidades, las probabilidades finitas, en todo caso, aquí voy a colocar un resumen de las reglas básicas de probabilidades:

Resumen de conceptos:

Las reglas de las Probabilidades:

Regla

Ejemplo

Para cualquier evento E
0 ≤ p(E) ≤ 1
0 ≤ #éxitos ≤ #intentos o sea:
0 ≤ #éxitos/#intentos
p(evento imposible) = 0
p(evento seguro) = 1
p(sacar 13 con dos dados) = 0
p(ver un as sacando 50 cartas de un mazo) = 1
p(no E) = 1 – p(E) p(no sacar  6 en dos dados) = 1 – p(al menos un 6 en dos dados)
Si los elementos A y B son mutuamente exclusivos p(A o B) = p( A ) + p( B ) A= Sacar un as Rojo; B = Sacar una carta negra
p( A o B ) = 2/52 + 26/52 = 7/13
Si A y B son eventos independientes en experimentos sucesivos,
p(A luego B) = p(A) * p(b)
A = sacar un as o un rey
B = sacar doble con dos dados
p(A luego B) = 8/52 * 1/6 = 1/39

p: probabilidad, E: evento , #: cantidad

Expectativa matemática (para juegos de azar):

Sea

E1, E2, E3,………En

Un grupo de pares de eventos mutuamente excluidos.

P1, P2, P3,,……..,Pn

La probabilidad respectiva de cada uno de los eventos y

r1, r2, r3,……rn

El respectivo pago o ganancia (negativa o positiva) si sucede el evento

La ganancia esperada o la expectativa matemática de ese conjunto de eventos está dada por

X = p1r1 + p2r2 +p3r3 + ……..+pnrn

Algunas condiciones y explicaciones importantes:

  • La ganancia esperada representa la suma ponderada de todas las posibles ganancias y pérdidas en base a la probabilidad de cada una.
  • Para que el cálculo sea correcto se debe considerar TODOS los posibles eventos de un juego y ponderar la ganancia de ese evento por su probabilidad.

El siguiente ejemplo, un juego tan antiguo como la biblia hará una ilustración simple del tema de la expectativa y se trata del trompo de apuesta o “dreidel”

trompo 3

En este trompo de 4 caras hay cuatro posibles eventos:

E1 = el jugador pierde uno (moneda, $, etc.)

E2 = el jugador pierde dos

E3 = el jugador gana dos

E4 = el jugador gana uno

La probabilidad de que salga cualquiera de las caras, suponiendo que está correctamente fabricado sin tendencia) es 1/4

la expectativa matemática o ganancia esperada de este juego es:

X= (-1)*1/4 + (–2)*1/4 + (1)*1/4 + (2)*1/4 = 0

Lo que esto nos dice es que en el largo plazo si se juega muchas veces la ganancia esperada de este juego es 0, es decir que estamos frente a un juego “justo”

Si por ejemplo cambiamos el evento E4 por “El jugador no gana” la expectativa matemática o ganancia esperada de este nuevo juego es:

X= (-1)*1/4 + (–2)*1/4 + (1)*1/4 + (0)*1/4 = –1/2 = –0.5

Esto quiere decir que a la larga por cada unidad ($ por ejemplo) que apueste en este juego la expectativa es perder -0.5, este juego es favorable a la casa!

Ahora cambiemos de las reglas iniciales el evento E1 por “El jugador no gana” la expectativa matemática o ganancia esperada de este nuevo juego es

X= (0)*1/4 + (–2)*1/4 + (1)*1/4 + (2)*1/4 = 0.25

En este caso la expectativa de ganancia es positiva, a favor del jugador.

Este mismos esquema se aplica con mayor o menor complejidad a todos los juegos de los casinos.

En juegos como el blackjack donde las posibles combinaciones de manos del jugador contra manos del dealer, dependiendo del numero de cartas que conforman las manos y las cartas ya jugadas hacen que la cantidad de eventos sea enorme el cálculo de la ganancia esperada por métodos de calculo combinatorio es un trabajo enorme que requiere gran capacidad de proceso y velocidad de cálculo. Peter A. Griffin hizo todos loas cálculos utilizando métodos combinatorios y potentes algoritmos para desarrollar su Teoría del Blackjack.

Mas adelante veremos que mediante simulaciones de millones de jugadas se puede llegar a resultados comparables al análisis combinatorio siempre que el número de muestras (rondas de la simulación) sea lo suficientemente grande.

La distribución Binomial:

Los juegos de azar y la repetición de los experimentos:

La expectativa o ganancia esperada nos da una forma de predecir que debería pasar, en promedio, si uno juega cierto juego por un tiempo suficientemente largo. Ahora bien, es evidente que hay gente que en oportunidades habiendo hecho apuestas por tiempo largo en juegos de expectativa negativa han ganado sumas importantes de dinero y por el contrario otras personas haciendo apuestas en condiciones de expectativa positiva pierden. (suerte?)  la idea es entender por qué lo anterior pasa y con que frecuencia puede pasar.

No vamos a hacer las demostraciones de las diferentes aseveraciones por motivo de espacio y tiempo, las puedes encontrar en cualquier texto de probabilidades

Si un experimento con una probabilidad p fija de éxito es repetido por n experimentos independientes entonces,

p(exactamente r éxitos en n intentos) = Cn,rqn-rpr    (q = 1 – p)

Cn,r son las posibles combinaciones de que r éxitos en n intentos.

q la probabilidad de que se suceda la combinación y p que no se suceda

Veamos un ejemplo para aclarar los términos:

Una moneda (buena) se lanza 8 veces. Cual es la probabilidad de lograr exactamente r caras?

En este caso:

p = q = 1/2

q8-rpr = (1/2)8 = 1/256

la solución se presenta en la siguiente tabla:

# de Caras (r) # de Posibilidades Probabilidad
0 C8,0 = 1 1/256
1 C8,1 = 8 8/256
2 C8,2 = 28 28/256
3 C8,3 = 56 56/256
4 C8,4 = 70 70/256
5 C8,5 = 56 56/256
6 C8,6 = 28 28/256
7 C8,7 = 8 8/256
8 C8,8 = 1 1/256

 

En la siguiente figura se muestra un gráfico de la frecuencia y sus probabilidades llamado histograma o gráfico de distribución.

distri caras

La simetría de los resultados es debido a que la probabilidad es 1/2, observe también que el evento mas probable es p(4 caras) = 70/256 = 0.273

Otra característica importante es que la suma de las probabilidades es 1

Tal vez lo mas importante de la distribución es que podemos calcular probabilidades de combinación de condiciones, por ejemplo:

p(l7 o mas caras) = C8,71/256 + C8,81/256 = 9/256 = 0.0352

y

p(6 o menos caras) = 1 - p(7 o mas caras) = 247/256 = 0.9648

La distribución binomial nos da, al menos en teoría, un medio de calcular las posibilidades de ganar un monto específico (es decir, lograr r éxitos) in un número específico de n juegos con una probabilidad p constante de ganar haciendo apuestas iguales. Por otro lado al trabajar en en situaciones realísticas que  en generar representan valores grandes de r y n requiere de cálculos  de Cn,r con potenciaciones elevadas de p y q que requieren de muy alta capacidad y velocidad de proceso. Para hacer las cosas mas complejas aún, el interés no es simplemente obtener la probabilidad de ganar (o perder) un monto específico, sino que “al menos” ese monto lo cual hace mas complejos los cálculos pues es necesario repetirlos para efectuar la suma de productos.

Las gráficas siguientes muestran la distribución de probabilidades o histogramas calculadas en forma combinatoria de la probabilidad de sacar r rojos en 4, 8 16, 32 y 64 jugadas de ruleta americana. La probabilidad de sacar rojo en la ruleta americana es 18/38 = 0.473684

image

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Inicialmente se observa un pico al rededor de # rojos r = n/2 y ya es aparente una asimetría en favor de las pérdidas. Si la gráfica fuese perfectamente  simétrica alrededor de r = n/2 estaríamos hablando de un juego de guanacia 0. En la medida en que el número de jugadas se incrementa el pico se desplaza a la izquierda pero sorprende la forma simétrica de una curva que asemeja a una campana al rededor del valor pico.

El conjunto de valores discretos obtenidos puede aproximarse a una función continúa con forma de campana, una función exponencial con la forma:

imageEscogiendo las constantes a, c y b para asegurar que:

  • El área total debajo de la curva se 1
  • El pico de la curva esté en en el punto b que corresponde a np éxitos en n intentos en el eje horizontal
  • que el ancho de la curva se aproxime a la perfil binomial particular que estamos estudiando.

Esta función se le llama función normal o gaussiana y en general para los casos en que np > 5 y nq > 5 siempre se podrá conseguir una  función normal que aproxime en forma razonable a una distribución binomial.

En la figura siguiente se muestra la curva de normal supe impuesta a la distribución binomial que hemos estado analizando:

image

Es importante entender que la curva normal es simplemente una aproximación para poder estudiar y analizar procesos aleatorios, si ciertas condiciones son cumplidas

Mas adelante veremos que mediante simulaciones computarizadas podemos obtener el resultado de millones de jugadas. Si el proceso que se simula tiene una distribución que se aproxima a la normal, entonces se puede obtener de las simulaciones los parámetros necesarios para poder estimar el resultado del juego y el valor esperado para diferentes condiciones.

En la próxima parte se explicará con detalle el concepto de variancia y veremos el comportamiento del juego de blackjack a partir de simulaciones

Existen muchas otras funciones que permiten aproximar o modelar distintos tipos de procesos aleatorios.

Continuaré en el próximo post.

Viva el Blackjack!

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